Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．求证：（1）BC

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．求证：（1）BC平分∠PBD；（2）BC2=AB?BD．

Answer 1

证明：（1）连接OC．（1分）
∵PD切⊙O于点C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD．
∴∠1=∠3．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠2=∠3．（3分）
∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（5分）
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD；（7分）
∴

AB

CB

＝

BC

BD

，∴BC²=AB?BD．（8分）