Question

（2014?靖江市模拟）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交与A、B两点，与y轴交与C点．（1）求抛物线

（2014?靖江市模拟）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交与A、B两点，与y轴交与C点．（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；（2）当m变化时，试证明△BCM与△ABC的面积比值是定值，并求出此定值；（3）若线段CM的垂直平分线过B点，求抛物线方程．

Answer 1

（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）=m（x-1）²-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0；
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．

（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

|3-（-1）|×|-3m|=6|m|=6m．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△OBC
=

1

2

BD?DM+

1

2

（OC+OM）?OD-

1

2

OB?BC
=

1

2

×2×4m+

1

2

（3m+4m）×1-

1

2

×3×3m
=3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2，
故答案为：

1

2

；

（3）∵线段CM的垂直平分线过B点，
∴BM=BC，
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）的顶点M的坐标为（1，-4m），B（3，0），C（0，-3m），
∴3²+（3m）²=（3-1）²-（4m）²，
解得：m=

35

7

．
故解析式为：y=

35

7

x²-

2 35

7

x-

3 35

7

．