Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)＝?1f(x)，当0＜x＜12时，

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)＝?1f(x)，当0＜x＜12时，f（x）=3x．（1）求证：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函数；（2）求当x∈(12，1)时函数f（x）的解析式，并求x∈(2k+12，2k+1)(k∈Z）时f（x）的解析式；（3）当x∈(2k+12，2k+1)时，解不等式log3f（x）＞x2-（2k+2）x+2k+1．

Answer 1

（1）由f(x+1)＝?

1

f(x)

得f(x+2)＝?

1

f(x+1)

＝f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(

1

2

，1)时，1?x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．    （7分）
而f(1?x)＝?

1

f(?x)

＝

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．      （9分）
当x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时，x?2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                  （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1
即为x-2k-1＞x²-（2k+2）x+2k+1，
即x²-（2k+3）x+2（2k+1）＜0，（13分）（x-2）[x-（2k+1）]＜0
当2k+1＜2即k＜

1

2

时，x∈（2k+1，2）与条件不符；  （14分）
当2k+1=2即k＝

1

2

时，无解．            （15分）
当2k+1＞2即k＞

1

2

时，若2k+

1

2

≤2即k≤

3

4

时整数k不存在；（16分）
若2k+

1

2

＞2即k＞

3

4

时，x∈(2k+

1

2

，2k+1)．         （17分）
综上：k≥1时 x∈(2k+

1

2

，2k+1)，k＜1时x∈φ（18分）