Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE             
又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE
又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC       
（Ⅱ）连接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角      
在Rt△PAC中，tan∠PCA＝

PA

AC

＝

1

5

＝

5

5

即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为

6

6

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．      
由△AME∽△CBE，可得AM＝

2

2

，∴tan∠PMA＝

PA

AM

＝

2

∴二面角P一EC一D的余弦值为 

3

3