Question

在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为点E，DE与AB相交于点F．当AB=AC时（如

在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为点E，DE与AB相交于点F．当AB=AC时（如图所示）．（1）∠EBF=______．（2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）作DH⊥AB于H，如图，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠EDB=

1

2

∠C=22.5°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠EBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EBF=∠EBD-∠ABC=22.5°．

（2）BE=

1

2

FD．理由如下
BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=

1

2

∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=

1

2

BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，

∠G＝∠DFH ∠GBH＝∠FDH BH＝DH

，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE=

1

2

FD．
故答案为22.5°．