Question

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=1bnbn+1，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜12．

Answer 1

解答：（I）解：∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an?1

＝2，（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n?1，S_n=2ⁿ-1，（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（II）证明：c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，（7分）
∴T_n=

1

2

(1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

)，（9分）
∵n∈N^*，∴Tn＝

1

2

(1?

1

2n+1

)＜

1

2

．（12分）