Question

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形 ∴AB=AC=BC，ED=DC=EC ∵点E、F分别为AC、BC的中点 ∴EF= 1 2 AB，EC= 1 2 AC，FC= 1 2 BC ∴EF=EC=FC ∴EF=FC=ED=DC， ∴四边形EFCD是菱形． （2）连接DF，与EC相交于点G， ∵四边形EFCD是菱形 ∴DF⊥EC，垂足为G   ∵EF= 1 2 AB=4，EF ∥ AB ∴∠FEG=∠A=60° 在Rt△EFG中，∠EGF=90° ∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4 3 ．