Question

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1 ，F 2 ，离心率为 ，且过点(2， )．(1)求椭圆C的标

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1 ，F 2 ，离心率为 ，且过点(2， )．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F 1 ，F 2 ，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值．





Answer 1

（1） ＝1（2）

(1)由已知，e＝ ＝ ，所以 ＝ ＝1－e 2 ＝ ，所以a 2 ＝2b 2 . 所以C： ＝1，即x 2 ＋2y 2 ＝2b 2 . 因为椭圆C过点(2， )，代入椭圆方程得b 2 ＝4，所以a 2 ＝8. 所以椭圆C的标准方程为 ＝1. (2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F 1 (－2，0)，F 2 (2，0)． 根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)， 由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－ (x－2)． 设M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )． 由方程组 消去y得(2k 2 ＋1)x 2 ＋8k 2 x＋8k 2 －8＝0. 则x 1 ＋x 2 ＝ ，x 1 x 2 ＝ . 所以|MN|＝ ＝ .同理可得|PQ|＝ . 所以