Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，(Ⅰ)求证：PC⊥BC； (Ⅱ

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，(Ⅰ)求证：PC⊥BC； (Ⅱ)求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD， 所以PD⊥BC， 由∠BCD=90°，得BC⊥DC， 又PD∩DC=D，PD 平面PCD，DC 平面PCD， 所以BC⊥平面PCD， 因为PC 平面PCD， 所以PC⊥BC。 (Ⅱ)解：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h， 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°， 从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S △ABC =1， 由PD⊥平面ABCD及PD=1， 得三棱锥P-ABC的体积 ， 因为PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD， 所以PD⊥DC， 又PD=DC=1，所以 ， 由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积 ， 由 ，得 ， 因此，点A到平面PBC的距离为 。