Question

已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2），定义使a1?a2?a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，20

已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2），定义使a1?a2?a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2010]内所有希望数的和M=（　　）A．2026B．2036C．2046D．2048

Answer 1

a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁?a₂?a_k为整数得，log₂3?log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，∴k=2^m-2； 因为2¹¹=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故选A．