Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．求证：（1）DECE

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．求证：（1）DECE=ADCD； （2）△BCE∽△ADM．

Answer 1

（1）解：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

DE

AD

＝

CE

DC

，
∴

DE

CE

=

AD

CD

；

（2）解：∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD=

1

2

BC，
∵M为DE的中点，
∴DM=EM=

1

2

DE，
由（1）得

DE

CE

=

AD

CD

，
∴

2DM

CE

＝

AD

1 2 BC

，
∴

DM

CE

＝

AD

BC

，
∴△BCE∽△ADM．