Question

已知抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x1，0），抛物线的顶点为P．（Ⅰ）若点P（-1，-3

已知抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x1，0），抛物线的顶点为P．（Ⅰ）若点P（-1，-3），求抛物线的解析式；（Ⅱ）设点P（-1，k），k＞0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点的坐标；（Ⅲ）若抛物线经过点M（m，-a），a＞0，求x1的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线顶点P（-1，-3），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）²-3，
将A（1，0）代入可得：0=4a-3，
解得：a=

3

4

，
故抛物线的解析式为y=

3

4

（x+1）²-3=

3

4

x²+

3

2

x-

9

4

；

（Ⅱ）如图，∵抛物线的对称轴为x=-1，且经过A（1，0），
∴B（-3，0），
设顶点P（-1，k）关于y轴的对称点P'，则P'（1，k），
当直线BP′与y轴的交点为Q时，QB+QP取得最小值，
过点P′作P′H⊥y轴的交点为H，由B（-3，0），P′（1，k），得BH=4，
在Rt△BHP′中，HP′=

BP′2-BH2

=

52-42

=3，
由k＞0得k=3，
∴P（-1，3），
设y=a（x+1）²+3，把点A（1，0）代入得：0=4a+3，
解得：a=-

3

4

，
∴y=-

3

4

（x+1）²-3，
故可得点B的坐标为（-3，0），
设直线BP'的解析式为：y=kx+b，
将点B（-3，0）、点P'（1，3）代入可得：

-3k+b=0 k+b=3

，
解得：

k= 3 4 b= 9 4

，
故直线BP'的解析式为：y=

3

4