Question

如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．

如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=12AB?PE，S△ACP=12AC?PF，S△ABC=12AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴12AB?PE+12AC?PF=12AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______．点P到AB边的距离PE=______．

Answer 1

（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB?PE，S_△ACP=

1

2

AC?PF，S_△ABC=

1

2

AB?CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴

1

2

AB?PE=

1

2

AC?PF+

1

2

AB?CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=

1

2

AB?CH，AB=AC，
∴

1

2

×2CH?CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．