Question

设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2＝?54，求点P

设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2＝?54，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）易知a=2，b=1，c＝

3

．
∴F1(?

3

，0)，F2(

3

，0)．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
则

PF1

?

PF2

＝(?

3

?x，?y)(

3

?x，?y)＝x2+y2?3＝?

5

4

，又

x2

4

+y2＝1，
联立

x2+y2＝ 7 4 x2 4 +y2＝1

，解得

x2＝1 y2＝ 3 4

?

x＝1 y＝ 3 2

，P(1，

3

2

)．

（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x2 4 +y2＝1 y＝kx+2

?x2+4(kx+2)2＝4?(1+4k2)x2+16kx+12＝0
∴x1x2＝

12

1+4k2

，x1+x2＝?

16k

1+4k2

由△=（16k）²-4?（1+4k²）?12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

3

4

．①
又∠AOB为锐角?cos∠AOB＞0?

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