设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1?PF2=?54,求点P
设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1?PF2=?54,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆...
设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1?PF2=?54,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为作标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
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(Ⅰ)易知a=2,b=1,c=
.
∴F1(?
,0),F2(
,0).设P(x,y)(x>0,y>0).
则
?
=(?
?x,?y)(
?x,?y)=x2+y2?3=?
,又
+y2=1,
联立
,解得
?
,P(1,
).
(Ⅱ)显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
?x2+4(kx+2)2=4?(1+4k2)x2+16kx+12=0
∴x1x2=
,x1+x2=?
由△=(16k)2-4?(1+4k2)?12>016k2-3(1+4k2)>0,4k2-3>0,得k2>
.①
又∠AOB为锐角?cos∠AOB>0?
3 |
∴F1(?
3 |
3 |
则
PF1 |
PF2 |
3 |
3 |
5 |
4 |
x2 |
4 |
联立
|
|
|
| ||
2 |
(Ⅱ)显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
|
∴x1x2=
12 |
1+4k2 |
16k |
1+4k2 |
由△=(16k)2-4?(1+4k2)?12>016k2-3(1+4k2)>0,4k2-3>0,得k2>
3 |
4 |
又∠AOB为锐角?cos∠AOB>0?
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