Question

设椭圆方程为x2+y24=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M

设椭圆方程为x2+y24=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

4x2+y2?4＝0 y＝kx+1

 得：（4+k²）x²+2kx-3=0，…（4分）
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，y₁+y₂=

8

4+k2

，…（6分）
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)  得：（x，y）=

1

2

（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：

x＝ x1+x2 2 ＝? k 4+k2 y＝ y1+y2 2 ＝ 4 4+k2

…（8分）
消去k得：4x²+y²-y=0 …（10分）
②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x²+y²-y=0．…（12分）