Question

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．（2）判断f（x）的单调性并加以证明．（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x+y）=f（x）?f（y）-f（x）-f（y）+2令x=y=0，
f（0）=f（0）?f（0）-f（0）-f（0）+2
∴f²（0）-3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
 则 f（1）=f（1+0）=f（1）?f（0）-f（1）-f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2                         （1分）
设x＜0，则-x＞0，那么f（-x）＞2
又2=f（0）=f（x-x）=f（x）?f（-x）-f（x）-f（-x）+2
∴f(x)＝

f(?x)

f(?x)?1

＝1+

1

f(?x)?1

∵f（-x）＞2
，∴0＜

1

f(?x)?1

＜1，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x₁＜x₂则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞2
f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+2
=f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x₁）-1＞0，又f（x₂-x₁）＞2
∴f（x₂-x₁）?[f（x₁）-1]＞2f（x₁）-2
f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2＞f（x₁）
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）在R上是增函数                                               （3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）-k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减
则x∈（-∞，0）时，g（x）=|f（x）-k|=k-f（x）
即x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，
∵x∈（-∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分）