Question

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB=AC；（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直径．

Answer 1

证明：连接OP，AP，
（1）∵P为BC中点，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴PD⊥OP，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OP∥AC，
∴∠C=∠BPO，
∵OB=OP，
∴∠B=∠BPO，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（3）∵∠CAB=120°，∠C=∠B=30°，
在Rt△ABP中，∵BC=4，
∴BP=2，
∴cos∠B=

PB

AB

，
∴AB=

PB

cos30°

=

2

3 2

=

4

3

3

．