Question

如图，在等边 ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P， 于点Q，（1）求证： （2）

如图，在等边 ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P， 于点Q，（1）求证： （2）请问PQ与BP有何数量关系？并说明理由，

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Answer 1

（1）证明：∵ 为等边三角形 ∴ ， 在 和 中 ， ∴ （2）BP=2PQ 证明：∵△BAE≌△ACD， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD． ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ．

（1）根据SAS定理，即可判断两个三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的外交的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．