Question

如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3， ），∠AOC=60°，

如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3， ），∠AOC=60°，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）． （1）求点C的坐标及梯形ABCO的面积；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

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Answer 1

（1）    （2） （ ）  （3）当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形

试题分析：（1）作CM⊥OA于点M,知CM ,由∠AOC=60°易求BM=1，求出C点坐标；由B点坐标可求BC的长，从而梯形面积可求； （2）用含有t的代数式分别表示△OPQ的高和底，求出△OPQ的的面积即可表示出S与运动时间t的函数关系式； （3）分点Q分别在边BC、OC、OA上运动时进行讨论，即可求出t的值. 试题解析:（1）作CM⊥OA于点M, ∵∠AOC=60°，∴∠OCM=30°， ∵B（3， ），BC∥AO，∴CM , 设OM= ，则OC= ，∴ 解得 ，∴OM=1，OC=2， ∴C（1， ）， ∵B（3， ），∴BC=2， ∵A（6，0），∴OA=6， ∴ , (2)如图1，当动点Q运动到OC边时，OQ= ， 作QG⊥OP，∴∠OQG=30°， ∴ ，∴ ， 又∵OP=2t， ∴ （ ）； （3）根据题意得出： ， 当 时，Q在BC边上运动，延长BC交y轴于点D， 此时OP=2t， ， ， ∵∠POQ＜∠POC=60°， ∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°， 若∠OPQ=90°，如图2，则∠PQD=90°， ∴四边形PQDO为矩形， ∴OP=QD，∴2t=3-t， 解得t=1， 若∠OQP=90°，如图3，则OQ 2 +PQ 2 =PO 2 ， 即 ， 解得：t 1 =t 2 =2， 当 时，Q在OC边上运动， 若∠OQP=90°， ∵∠POQ=60°，∴∠OPQ=30°， ∴ ， 若∠OPQ=90°,同理： , 而此时OP=2t＞4，OQ＜OC=2， ∴ ， , 故当Q在OC边上运动时，△OPQ不可能为直角三角形， 综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形。 考点: 1.二次函数；2.直角三角形的判定.