Question

定义：如图，若双曲线 （k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线 （k＞

定义：如图，若双曲线 （k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线 （k＞0）的对径． （1）求双曲线 的对径；（2）若某双曲线 （k＞0）的对径是 ．求k的值．

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Answer 1

（1）2   （2）25

试题分析：过A点作AC⊥x轴于C． （1）先解方程组 ，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA= OC= ，则AB=2OA=2 ，于是得到双曲线y= 的对径； （2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10 即AB=10 ，OA=5 ，根据OA= OC= AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y= （k＞0）即可得到k的值． 解：过A点作AC⊥x轴于C，如图． （1）解方程组 ，得 ， ， ∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴OC=AC=1， ∴OA= OC= ， ∴AB=2OA=2 ， ∴双曲线y= 的对径是2 ； （2）∵双曲线的对径为10 即AB=10 ，OA=5 ， ∴OA= OC= AC， ∴OC=AC=5， ∴点A坐标为（5，5）， 把A（5，5）代入双曲线y= （k＞0）得k=5×5=25， 即k的值为25． 点评：本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍；强化理解能力．