Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△A

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为（　　） A．2 B． 1 2 C． 2 D． 2 2

Answer 1

在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2 2 ， ∵AE⊥PB，∴AE= 1 2 PB= 2 ，∴PE=BE= 2 ． ∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC ∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC ∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB ∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF， 结合EF?平面AEF，可得PB⊥EF． Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE?tanθ= 2 tanθ， ∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF． ∴Rt△AEF中，AF= A E 2 -E F 2 = 2-2ta n 2 θ ， ∴S △AEF = 1 2 AF?EF= 1 2 × 2 tanθ× 2-2ta n 2 θ = -(ta n 2 θ- 1 2 ) 2 + 1 4 ∴当tan 2 θ= 1 2 ，即tanθ= 2 2 时，S △AEF 有最大值为 1 2 故选：D