Question

集合X={x|x=2n-1，n∈Z}，Y={y|y=4k±1，k∈Z}，试证明X=Y。

集合X={x|x=2n-1，n∈Z}，Y={y|y=4k±1，k∈Z}，试证明X=Y。

Answer 1

证明：(1)设x 0 ∈X，则x 0 =2n 0 -1，n 0 ∈Z， ①若n 0 是偶数，可设n 0 =2m，m∈Z， 则x 0 =4m-1，∴x 0 ∈y； ②若n 0 是奇数，可设n 0 =2m-1，m∈Z， 则x 0 =2(2m-1)-1=4m-3=4(m-1)+1，x 0 ∈Y， ∴不论n 0 是偶数还是奇数，都有x 0 ∈Y， ∴X Y； (2)又设y 0 ∈Y，则y 0 =4k 0 +1或y 0 =4k 0 -1， ∵y 0 =4k 0 +1=2(2k 0 +1)-1，y 0 =4k 0 -1=2(2k 0 )-1， 而2k 0 +1∈Z，2k 0 ∈Z， ∴y 0 ∈X， ∴Y X； 由(1)(2)可知，X=Y。