Question

设函数f（x）=lnx+a2x2-（a+1）x（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，若

设函数f（x）=lnx+a2x2-（a+1）x（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，若f（x）＜a2x2-x-a，求a的取值范围．

Answer 1

定义域为：（0，+∞），
（1）当a=2时，f′（x）=

1

x

+2x?3=

2x2?3x+1

x

=

(2x?1)(x?1)

x

，
当f′（x）＞0时，0＜x＜

1

2

或x＞1，当f′（x）＜0时，x＜0或

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间为：（0，

1

2

）和（1，+∞），单调减区间为：（-∞，0）和（

1

2

，1）；
（2）f（x）＜

a

2

x²-x-a即lnx+

a

2

x²-（a+1）x＜

a

2

x²-x-a，∴lnx-ax+a＜0，
令g（x）=lnx-ax+a，x∈（1，+∞），g′（x）=

1

x

?a=

1?ax

x

，
①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又g（e）=1-ae+a=1+a（1-e）＞0，∴g（x）＜0不恒成立；
②当a≥1时，g′（x）=

1

x

?a＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）=-a+a=0，满足题意；
③当0＜a＜1时，由g′（x）=

1

x

?a＞0得，x＜

1

a

，∴g（x）在（1，

1

a

）上单调递增，
由g′（x）=

1

x

?a＜0得，x＞

1

a

，∴g（x）在（

1

a

，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（

1

a

）=ln

1

a

-1+a=a-lna-1，令h（a）=a-lna-1，a∈（0，1），
h′（a）=1-

1

a

＞0，∴h（a）单调递增，∴h（a）＜h（1）=0，
∴g（x）≤h（a）＜0，此时满足题意；
综上得，a的取值范围为（0，+∞）．

Answer 2

引用丝袜e36EF36的回答：
定义域为：（0，+∞），（1）当a=2时，f′（x）=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，当f′（x）＞0时，0＜x＜12或x＞1，当f′（x）＜0时，x＜0或12＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为：（0，12）和（1，+∞），单调减区间为：（-∞，0）和（12，1）；（2）f（x）＜a2x2-x-a即lnx+a2x2-（a+1）x＜a2x2-x-a，∴lnx-ax+a＜0，令g（x）=lnx-ax+a，x∈（1，+∞），g′（x）=1x?a=1?axx，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又g（e）=1-ae+a=1+a（1-e）＞0，∴g（x）＜0不恒成立；②当a≥1时，g′（x）=1x?a＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）=-a+a=0，满足题意；③当0＜a＜1时，由g′（x）=1x?a＞0得，x＜1a，∴g（x）在（1，1a）上单调递增，由g′（x）=1x?a＜0得，x＞1a，∴g（x）在（1a，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1a）=ln1a-1+a=a-lna-1，令h（a）=a-lna-1，a∈（0，1），h′（a）=1-1a＞0，∴h（a）单调递增，∴h（a）＜h（1）=0，∴g（x）≤h（a）＜0，此时满足题意；综上得，a的取值范围为（0，+∞）．

当a=1/2时。
g(e)=lne-(1/2)e+1/2=(1/2)(3-e)>0
所以，答案不正确
正确答案：a的取值范围为[1，+∞）
当0<a<1时。g'(x)=1/x-a=(1-ax)/x,
当x>1/a时,g'(x)<0,g(x)单调递减；0<x<1/a时，g'(x)>0,g(x)单调递增
所以g(x)<=g(1/a)=ln(1/a)-1+a=a-1-lna.
令h(a)=a-1-lna,则h'(a)=1-(1/a)=(a-1)/a<0.(0<a<1),所以h(a)单调递减。
所以h(a)>h(1)=1-1-0=0.
所以g(x)的最大值=g(1/a)>0,所以当0<a<1时，g(x)<0不恒成立。
所以，结合作者的一些正确讨论。a的取值范围为[1，+∞）