Question

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC+12c=b．（1）求角A的大小；（2）若bc=2，求边长a的

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC+12c=b．（1）求角A的大小；（2）若bc=2，求边长a的最小值．

Answer 1

（1）∵acosC+

1

2

c=b，∴由正弦定理，得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
∵在△ABC中，A+C=π-B，∴sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，可得

1

2

sinC=cosAsinC，
又∵在△ABC中，sinC＞0，
∴等式两边约去sinC，可得cosA=

1

2

，结合A∈（0，π）可得A=

π

3

；
（2）∵在△ABC中，A=

π

3

，bc=2，
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2×2×cos

π

3

=b²+c²-2，
又∵b²+c²≥2bc，即b²+c²≥4，
∴a²=b²+c²-2≥4-2=2，当且仅当b=c时等号成立．
因此，当b=c=

2

时，a²的最小值为2，可得边a的最小值为

2

．