Question

如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置．质量为m的物块A（可视为质点）以初速

如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置．质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v0从斜面的顶端P点沿斜面向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回．物块A离开弹簧后，恰好回到P点．已知OP的距离为x0，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ．求：（1）O点和O′点间的距离x1；（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；（3）在轻弹簧旁边并排放置另一根与之完全相同的弹簧，一端与挡板固定．若将另一个与A材料相同的物块B（可视为质点）与两根弹簧右端拴接，设B的质量为βm，μ=2tanθ，v0=3gx0sinθ．将A与B并排在一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后最终未冲出斜面，求β需满足的条件？

Answer 1

（1）从P点又回到P点2μmgcosθ(x1+x0)＝

1

2

m

v

2 0

得：x1＝

v 2 0

4μgcosθ

?x0
（2）根据能量守恒得：
从O′点到P点，有 E_P=μmgcosθ（x₁+x₀）+mgsinθ（x₁+x₀）=

1

4

m

v

2 0

+mgsinθ?

v 2 0

4μgcosθ

＝

1

4

m

v

2 0

(1+

tanθ

μ

)
（3）分离时：a_A=a_B，N_AB=0
A：a_A=gsinθ+μgcosθ
B：2T+βmgsinθ+μβmgcosθ=βma_B
得：T=0，即弹簧处于原长处，A、B两物体分离．
从O′点到O点：2EP＝μ(β+1)mgcosθx1+(β+1)mgsinθx1+

1

2

(β+1)mv2
得：v2＝

3 v 2 0

2(β+1)

?

3

4

gx0sinθ
分离后，A继续上升到静止

1

2

mv2＝(mgsinθ+μmgcosθ)x2，0≤x₂≤x₀
得：1≤β≤17
答：
（1）O点和O′点间的距离x₁是

v 2 0

4μgcosθ

?x0．
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能是

1

4

m

v

2 0

(1+

tanθ

μ

)．
（3）若A离开B后最终未冲出斜面，β需满足的条件是1≤β≤17．