Question

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）求证：B

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）求证：BE=CF；（2）如果AB=6，AC=4，求AE，BE的长．

Answer 1

（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中

DB＝DC DE＝DF

，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中

AD＝AD DE＝DF

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=6，AC=4，
∴4+BE=6-BE，
∴BE=1，
∴AE=6-1=5．
答：AE=5，BE=1．