Question

设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，如果A-1的特征值是2，4，6，则A*的特征值是18，112，12418，112，124

设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，如果A-1的特征值是2，4，6，则A*的特征值是18，112，12418，112，124．

Answer 1

设λ是A的任一特征值，ξ是其对应的特征向量，则Aξ=λξ
∴A^*Aξ=A^*（λξ）=λA^*ξ
而AA^*=A^*A=|A|E
∴A*ξ＝

|A|

λ

ξ
即

|A|

λ

是A^*的特征值
又A^-1Aξ=A^-1（λξ），即A?1ξ＝

1

λ

ξ
∴

1

λ

是A^-1的特征值
∴由A^-1的特征值是2，4，6，知A的特征值为

1

2

，

1

4

，

1

6

∴|A|＝

1

2

?

1

4

?

1

6

＝

1

48

∴A^*的特征值为

1

48

?2＝

1

24

，

1

48

?4＝

1

12

，

1

48

?6＝

1

8