Question

线性代数 二次型的问题～

Answer 1

【评注】
掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，标准型中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵是经过改造的二次型的特征向量，具体解题步骤如下：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值
3、求矩阵A的特征向量
4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，...，γn
5、构造正交矩阵P=（γ1，γ2，...，γn）
则经过坐标变换x=Py，得
xTAx=yTBy = λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
【注意】
特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的。

在正交变换下，A不仅和B合同，而且与B相似，即A，B特征值相同。
PTAP=B，AB合同， P-1AP=B，AB相似。

【解答】
1、
二次型矩阵A为
a 0 1

0 a -1
1 -1 a-1
解特征方程|λE-A|=0，即可。
（λ-a)(λ+a-1)(λ+a+2）=0
得λ1=a，λ2=1-a，λ3= -2-a

2、由已知B的特征值为1，1，0，A与B相似，所以A的特征值也为1，1，0
tr（A）=tr（B）=3a-1 = 2
a=1
（对角线元素之和等于特征值之和，所以AB的对角线之和相等，即 迹tr相等。

3、按照上面的步骤解答即可。
λ1=a，λ2=1-a，λ3= -2-a
标准型为 ay1²+（1-a）y2² -（2+a）y3²

计算量不是很多，但计算要小心。
如果再让求解正交矩阵P，P-1AP = B
就要多算特征向量，然后再单位化，Schmidt正交化。
计算量就大了。
一般一个完整的题目就是到求解P。

newmanhero 2015年2月1日12:41:40

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

二次型是三元二次型，本来就有三个变量x1,x2,x3，使用的变换自然应该有三个式子，前两个式子是由配方以后的结果决定的，第三个有无穷多种取法，只要保证变换是可逆的即可，这里使用y3=x3，矩阵C是上三角矩阵，其可逆性容易判定。换成比如y3=x2+x3也能保证C可逆