Question

如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，（1）证明：△D

如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，（1）证明：△DEO≌△BFO ；（2）若DB=2，AD=1，AB= ， ① 当DB绕点O顺时针方向旋转45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由； ② 在直线DB绕点O顺时针方向旋转的过程中，是否存在矩形DEBF，若存在，请求出相应的旋转角度（结果精确到1°）；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，CD∥AB，     ∴∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO，   又∵点O是平行四边形的对称中心，     ∴OD=OB    ∴△DEO≌△BFO； （2）① 答：四边形AECF是菱形   理由如下：在△ABD中，DB=2，AD=1，AB= ，    ∴DB 2 +AD 2 =AB 2    ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°    ∵OD=OB= DB=1， ∴AD=OD=1。    ∴△OAD是等腰直角三角形， ∴∠AOD=45°。   当直线DB绕点O顺时针旋转45°时，即∠DOE=45°， ∴∠AOE=90°    ∵△DEO≌△BFO， ∴OE=OF   又∵点O是平行四边形的对称中心， ∴ OA=OC   ∴四边形AECF是平行四边形    ∴四边形AECF是菱形 ②当四边形DEBF是矩形时，   则有∠DFB=∠FDE=90°，OD=OE    又∵∠ADB=90°    ∴有∠ADF=∠ODE =∠DEO    ∵S △ABD = ，    ∴  在Rt△ADF中，    ∴∠ADF≈26.6°    ∴∠ODE =∠DEO=∠ADF =26.6°    ∴∠DOE=180°-∠OED -∠ODE=180°-26.6°-26.6°=126.8°≈127°   即当直线DB绕点O约顺时针旋转127°时，四边形CDBE是矩形。