Question

已知函数f(x)=x 2 +ax-lnx，a∈R，(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g(x)=f(x)

已知函数f(x)=x 2 +ax-lnx，a∈R，(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g(x)=f(x)-x 2 ，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然常数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；(3)当x∈(0，e]时，证明：e 2 x 2 - x＞(x+1)lnx。

Answer 1

解：(1)由题知 在[1，2]上恒成立， 令h(x)=2x 2 +ax-1， 由 得 ，得 ； (2)假设存在实数a，使g(x)=ax-lnx(x∈(0，e])有最小值3， ， ①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x) min =g(e)=ae-1=3，解得 (舍去)； ②当 时，g(x)在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ，解得a=e 2 ，满足条件； ③当 时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x) min =g(e)=ae-1=3，解得 (舍去)； 综上，存在实数a=e 2 ，使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3． (3)令F(x)=e 2 x-lnx，由(2)知，F(x) min =3， 令 ， 当0＜x≤e时，ψ′(x)≥0，ψ(x)在(0，e]上单调递增， ∴ ， ∴ ，即 。