已知f（x）=x+1|x|．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x
已知f（x）=x+1|x|．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对...
已知f（x）=x+1|x|．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+2014a]内存在k+1个实数a1，a2，…，ak+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（ak）＜f（ak+1）成立，求k的最大值．
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（1）当x＞0时，f（x）=x+
=x+
≥2；
当x＜0时，f（x）=x+
=x-
∈R．
∴函数f（x）的值域为R；
（2）由题意知，m≠0，
当x∈[-2，-1]，函数f（x）=x-
，f′(x)=1+
＞0，
∴f（x）=x-
在[-2，-1]上为增函数，
①当m＞0时，由x∈[-2，-1]，得f（mx）+mf（x）=mx-
+mx-
=2mx-
＜0恒成立，
即2m2x2-m2-1＞0恒成立，由于x∈[-2，-1]时，2x2-1＞0，也就是m2＞
恒成立，
而
在[-2，-1]上的最大值为1，因此，m＞1．
②当m＜0时，mx+
+mx-
=2mx+
＜0，即2m2x2-m2+1＜0．
由于x∈[-2，-1]时，2x2-1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．
综上所述，m＞1；
（3）取a=
，则在区间[1，2
]内存在k+1个符合要求的实数．
注意到[1，2
]?[1，a+
]．
故只需考虑在[1，2
| 1 |
| |x| |
| 1 |
| x |
当x＜0时，f（x）=x+
| 1 |
| |x| |
| 1 |
| x |
∴函数f（x）的值域为R；
（2）由题意知，m≠0，
当x∈[-2，-1]，函数f（x）=x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
∴f（x）=x-
| 1 |
| x |
①当m＞0时，由x∈[-2，-1]，得f（mx）+mf（x）=mx-
| 1 |
| mx |
| m |
| x |
| m2+1 |
| mx |
即2m2x2-m2-1＞0恒成立，由于x∈[-2，-1]时，2x2-1＞0，也就是m2＞
| 1 |
| 2x2-1 |
而
| 1 |
| 2x2-1 |
②当m＜0时，mx+
| 1 |
| mx |
| m |
| x |
| 1-m2 |
| mx |
由于x∈[-2，-1]时，2x2-1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．
综上所述，m＞1；
（3）取a=
| 2014 |
| 2014 |
注意到[1，2
| 2014 |
| 2014 |
| a |
故只需考虑在[1，2
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