Question

设函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为奇

设函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为奇函数；　　　　　（2）证明：f（x）在R上为减函数．

Answer 1

证明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y）　　
令x=y=0得  f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0∴f（x）为奇函数．
（2）设x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0
由（1）知f（x）为奇函数
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上为减函数