Question

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．观察计算：（1）在方案一中，d1=______km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=______km（用含a的式子表示）．探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2-n2=（m+n）（m-n），m+n＞0，∴（m2-n2）与（m-n）的符号相同．当m2-n2＞0时，m-n＞0，即m＞n；当m2-n2=0时，m-n=0，即m=n；当m2-n2＜0时，m-n＜0，即m＜n．

Answer 1

（1）∵BP⊥l，
∴BP=2，
∵AB=a，
∴d₁=a+2．
（2）∵点A′与点A关于l对称，
∴AA′=6，
∵BK⊥AA′，
∴AK=1，在Rt△ABK中，由勾股定理，得
∴BK²=a²-1，
在Rt△KBA′由勾股定理，得
A′B²=25+a²-1=a2+24．
∴A′B=

a2+24

探索归纳
（1）①当a=4时，d₁=6，d₂=2

10

，
∵6＜2

10

，
∴d₁＜d₂．
  ②当a=6时，d₁=8，d₂=2

15

，
∵8＞2

15

，
∴d₁＞d₂．
（2）∵d₁²-d₂²=（a+2）²-（

a2+24

）²=4a-20，
∴①当4a-20＞0，即a＞5时，d₁＞d₂；
∴选择方案二铺设管道较短．
②当4a-20=0，a=5时，d₁=d₂；
∴选择方案一、二铺设管道一样长
③当4a-20＜0，即a＜5时，d₁＜d₂．
∴选择方案一铺设管道较短．
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5 时，选方案一．
故答案为：a+2，

a2+24

，＜，＞．