Question

设数列{an}的前n项和为Sn=-n2，数列{bn}满足：b1=2，bn+1=3bn-t（n-1），已知an+1+bn+1=3（an+bn）对任意

设数列{an}的前n项和为Sn=-n2，数列{bn}满足：b1=2，bn+1=3bn-t（n-1），已知an+1+bn+1=3（an+bn）对任意n∈N*都成立（1）求t的值；（2）设数列{an2+anbn}的前n项的和为Tn，问是否存在互不相等的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且Tm+1，Tk+1，Tr+1成等比数列？若存在，求出m，k，r；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=-n²+（n-1）²=1-2n，
当n=1时，a₁=s₁=-1，满足上式，
∴a_n=1-2n（n∈N^*）
又∵a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）对任意n∈N^*都成立，b₁=2，
∴a₁+b₁=（1-2）+2=1，
∴a_n+b_n≠0，∴

an+1+bn+1

an+bn

=3，
∴数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n+b_n=3^n-1，∴b_n=3^n-1-（1-2n）=3^n-1+2n-1，
∵b_n+1=3b_n-t（n-1），
∴3ⁿ+2n+1=3（3^n-1+2n-1）-t（n-1），
∴（t-4）（n-1）=0对任意n∈N^*都成立，
∴t=4．
（2）由（1）得a_n²+a_nb_n=a_n（a_n+b_n）=（1-2n）?3^n-1，
∴T_n=-1-3×3-5×3²-7×3³-…-（2n-1）?3^n-1，①
3T_n=-1×3-3×3²-5×3³-…-（2n-1）?3ⁿ，②
②-①得，
2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）?3ⁿ
=1+2×

3?3n

1?3

-（2n-1）?3ⁿ=2（1-n）?3ⁿ-2，
∴T_n=（1-n）?3ⁿ-1，
∴T_n+1=（1-n）?3ⁿ．
∴若存在互不相等的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且T_m+1，T_k+1，T_r+1成等比数列，
则（T_k+1）²=（T_m+1）（T_r+1）即（1-k）²?3^2k=（1-m）（1-r），即k²-2k+1=mr-（m+r）+1，
∴k²=mr即（

m+r

2

）²=mr，即（m-r）²=0，∴m=r，
这与m≠r相矛盾，
∴不存在满足条件的正整数m，k，r．