Question

如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE

如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与圆⊙O的位置关系，并说明理由；（3）直接写出CD的长为7272．

Answer 1

（1）连结BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=

AB2?BC2

=8；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

；
（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：
连结OC，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，
而∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（3）点I为Rt△ABC的内心，连结BI，作IF⊥BC于F，如图，
∵点I为Rt△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC，∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=BI，
∴BI=DA=5

2

，
∵IF=

6+8?10

2

=2，
∴CI=2

2

，
∴CD=CI+DI=7

2

．
故答案为7

2

．