Question

已知函数f（x）=aln x-x+a?1x．（1）若a=4，求f（x）的极值；（2）若f（x）在定义域内无极值，求实数a的

已知函数f（x）=aln x-x+a?1x．（1）若a=4，求f（x）的极值；（2）若f（x）在定义域内无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）已知a=4，∴f（x）=4lnx-x+

3

x

，（x＞0），
f′（x）=

4

x

-1-

3

x2

=

?x2+4x?3

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1或x=3．
当0＜x＜1或x＞3时，f′（x）＜0，
当1＜x＜3时，f′（x）＞0，
f（1）=2，f（3）=4ln3-2，∴f（x）取得极小值2，极大值4ln3-2．
（2）f（x）=alnx-x+

a?1

x

（x＞0），f′（x）=

a

x

-1-

a?1

x2

=

?x2+ax?1+1

x2

，
f（x）在定义域内无极值，即f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域上恒成立．
即方程f′（x）=0在（0，+∞）上无变号零点．
设g（x）=-x²+ax-（a-1），根据图象可得
△≤0或

△≥0 a 2 ≤0 g(0)≤0

，
△≤0即：a²-4a+4≤0解得a=2，
解：

a2?4a+4≥0 a 2 ≤0 ?a+1≤0

，得a∈?
∴实数a的取值范围为a=2．