Question

已知函数f（x）= 2 x 2 +bx+c x 2 +1 （b＜0）的值域是[1，3]，（1）求b、c的值；（2

已知函数f（x）= 2 x 2 +bx+c x 2 +1 （b＜0）的值域是[1，3]，（1）求b、c的值；（2）判断函数F（x）=lgf（x），当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论；（3）若t∈R，求证：lg 7 5 ≤F（|t- 1 6 |-|t+ 1 6 |）≤lg 13 5 ．

Answer 1

解；（1）设y= 2 x 2 +bx+c x 2 +1 ，则（y-2）x 2 -bx+y-c=0．  ① ∵x∈R，∴①的判别式△≥0，即 b 2 -4（y-2）（y-c）≥0，即4y 2 -4（2+c）y+8c-b 2 ≤0．  ② 由条件知，不等式②的解集是[1，3]， ∴1，3是方程4y 2 -4（2+c）y+8c+b 2 =0的两根，故有 1+3=2+c 1×3= 8c+ b 2 4 ， ∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）= 2 x 2 -2x+2 x 2 +1 =2- 2x x 2 +1 ． （2）任取x 1 ，x 2 ∈[-1，1]，且x 2 ＞x 1 ，则有 x 2 -x 1 ＞0，且（x 2 -x 1 ）（1-x 1 x 2 ）＞0， ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=- 2 x 2 1+ x 2 2 -(- 2x 1 1+ x 1 2 )= 2( x 2 - x 1 )( x 1 x 2  -1) (1+ x 1 2 )(1+ x 2 2 ) ＜0， ∴f（x 2 ）＜f（x 1 ），lgf（x 2 ）＜lgf（x 1 ），即F（x 2 ）＜F（x 1 ），∴F（x）为减函数． （3）记 u= |t- 1 6 | - |t+ 1 6 | ，则可得 |u| ≤ |(t- 1 6 )-(t+ 1 6 )| = 1 3 ，即- 1 3 ≤u≤ 1 3 ， 根据F（x）的单调性知，F（ 1 3 ）≤F（u）≤F（- 1 3 ）恒成立． 又f（ 1 3 ）=2- 2? 1 3 ( 1 3 ) 2 +1 = 7 5 ，f（- 1 3 ）=2- 2?(- 1 3 ) (- 1 3 ) 2 +1 = 13 5 ， ∴lg 7 5 ≤F（|t- 1 6 |-|t+ 1 6 |）≤lg 13 5 对任意实数t 成立．