Question

设a∈R，函数f（x）=2x 3 -3（a+2）x 2 +12ax+4，（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；（2）若

设a∈R，函数f（x）=2x 3 -3（a+2）x 2 +12ax+4，（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=6x 2 -6（a+2）x+12a ∵x=3是f（x）的一个极值点 ∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0 解得a=3，经检验知，a=3时，x=3是f（x）的一个极值点 ∴a=3． （2）∵f（x）在（-∞，1）上为增函数 ∴f′（x）=6x 2 -6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）． 即x 2 +（2-x）a-2x≥0恒成立， ∵x∈（-∞，1）． ∴2-x＞0 ∴a≥ 2x- x 2 2-x 恒成立． 令g（x）= 2x- x 2 2-x =x＜1 ∴a≥1．