Question

已知椭圆C： 的左焦点为F（﹣1，0），离心率为 ，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方

已知椭圆C： 的左焦点为F（﹣1，0），离心率为 ，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

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Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，a 2 =b 2 ﹣c 2 ，e= 解得：a= ，b=1 故椭圆的方程为： =1 （II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0）， 联立，得 ，整理得（1+2k 2 ）x 2 +4k 2 x+2k 2 ﹣2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F ∴方程有两个不等实根． 记A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB的中点N（x 0 ，y 0 ） 则x 1 +x 2 = ，x 0 = 垂直平分线NG的方程为y﹣y 0 =﹣ ， 令y=0，得x G =x 0 +ky 0 =﹣ =﹣ ． ∵k≠0，∴﹣ ＜0 ∴点G横坐标的取值范围为（﹣ ，0）．