Question

问个微积分的问题，请各位达人指教:∫01∫01（2-x-y）dxdy

如何求导，详细的过程？
取值范围是0——1,一个积分符号的我会算 就是这有两个积分符号是啥意思,想知道演算过程！

Answer 1

解：内外层积分的下限均为0，上限均为1；
若先对x积分[对x积分时把y视为常量，反之亦然，这就是一元函数定积分和多元函数重积分的区别，对一个变量积分时其它的都看作常数，比如对x+y积分就得到(x^2/2)+yx, y再此视为常系数]，则

原式=∫01{[2x-(x^2/2)-yx]01}dy （已经对x积分，是将y看作常量进行的）
=∫01{2-(1/2)-y}dy （此时对y积分，是将x看作常量进行的，虽然此时没有x）
=[(3y/2)-(y^2/2)]01
=(3-1)/2
=1

改变累次积分的顺序（即先对y积分）得：
原式=∫01{[(2-x)y-(y^2/2)]01}dx （已经对y积分，是将x看作常量进行的）
=∫01[(3/2)-x]dx （此时对x积分，是将y看作常量进行的，虽然此时没有y）
=[(3x/2)-(x^2/2)]01
=(3-1)/2
=1

Answer 2

两个积分符号你可以理解为先对x求积分,将y当常数;得到的结果再对y积分即可.
还可以这么理解,就是二重积分,本题其实用二重积分来求是最为简单的,积分区D刚好是一个正方形,很基本的二重积分求法了.

Answer 3

这是一个双重积分。
方法是把第一个要算的积分中的一个未知量看成是常数
比方说先计算关于∫dx的积分 这时要把被积函数里的y看成是常数进行计算

∫01∫01（2-x-y）dxdy
=∫01{[2x-x^2/2-xy]|x=(0,1)}dy
=∫01(2-1/2-y)dy
=(3/2y-y^2/2)|y=(0,1)
=3/2-1/2
=1