Question

附加题：如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），点P是直线y=?12x+4在第一象限上的一点，O是原

附加题：如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），点P是直线y=?12x+4在第一象限上的一点，O是原点．（1）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过P点作PD⊥x轴于D
∵P点在直线y=-

1

2

x+4上第一象限内的一点，且坐标为（x，y）
∴PD=|y|=|-

1

2

x+4|=-

1

2

x+4（2分）
∵A点的坐标为（4，0）∴OA=4
∴△OPA的面积为
S=

1

2

OA×PD＝

1

2

×4×(?

1

2

x+4)＝?x+8(0＜x＜8)．（4分）

（2）假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D
当OP=AP时，则OD=AD=

1

2

OA=2，
∴PD=-

1

2

×2+4＝3
∴在第一象限存在1个点P（2，3），使OP=AP．（4分）