Question

如图，已知Rt△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，EA平分∠BAC交⊙O于点E，过E作⊙O的切线交AB的延长线于点F

如图，已知Rt△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，EA平分∠BAC交⊙O于点E，过E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC的延长线于点G，AE、BC交于点D．（1）求证：EF∥BC；（2）若tan∠G=34，EF=4，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE交BC于M，
∵EF是圆的切线，
∴∠OEF=90°，
∵EA平分∠BAC交⊙O于点E，
∴∠FAE=∠EAO，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠OMB=90°，
∴∠OEF=∠OMB=90°，
∴EF∥BC；

（2）连接OB，
∵BC∥EF，
∴∠AFE=∠ABC=90°，
∵EF是切线，
∴∠MEF=90°，
四边形BFEM是矩形，
∴FE=BM=4，
∴BC=8，
∵tan∠G=

3

4

，
∴tan∠ABC=

3

4

，
∵AB=6，∴AC=10，
∴OB=5，∴OM=3，
∴EM=2，
∵AF=AB+BF=8，
∴tan∠FAE=

1

2

，
∴tan∠FAE=tan∠DEM=

1

2

，
∵EM=2，
∴DM=1，
∴DE=

22+12

=

5

．