Question

已知函数f（x）=loga（3+x）+loga（3-x），（a＞0且a≠1），（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域和值域；

已知函数f（x）=loga（3+x）+loga（3-x），（a＞0且a≠1），（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域和值域；（2）求关于x不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

（1）当a=3时，f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x），
由3+x＞0且3-x＞0得：x∈（-3，3），
故函数f（x）的定义域为（-3，3），
又由f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）中，
当x=0时，9-x²取最大值9，此时f（x）取最大值2，
可得求函数f（x）的值域为（-∞，2]；
（2）函数f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x）=log_a（9-x²），
当a＞1时，不等式f（x）＜0可化为：9-x²∈（0，1），
解得：x∈（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0可化为：9-x²∈（1，+∞），
解得：x∈（-2

2

，2

2

），
故当a＞1时，不等式f（x）＜0的解集为（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
当0＜a＜1时，不等式f（x）＜0的解集为（-2

2

，2

2

）．