Question

已知函数f（x）=lnx，g′（x）=x且g（2）=2．（1）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（其中a＞0），若F（x）没

已知函数f（x）=lnx，g′（x）=x且g（2）=2．（1）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（其中a＞0），若F（x）没有零点，求实数a的取值范围；（2）若p＞q＞0，总有m[g（p）-g（q）]＞pf（p）-qf（q）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由g′（x）=x，可设g(x)＝

1

2

x2+c，又由g（2）=2，解得c=0，所以g(x)＝

1

2

x2．
所以F(x)＝

a

2

x2?lnx，F′(x)＝ax?

1

x

＝

ax2?1

x

＝

a

x

(x+

1 a

)(x?

1 a

)．
因为a＞0，F（x）的定义域为（0，+∞），
所以当时x＞

1 a

时，F'（x）＞0，0＜x＜

1 a

时，F'（x）＜0．
所以F（x）在(0，

1 a

)是减函数，在[

1 a

，+∞)上是增函数．
易知x→0⁺时，F（x）→+∞；x→+∞时，F（x）→+∞．
因为F（x）没有零点，所以F（x）在（0，+∞）上的最小值是F(

1 a

)＝

1

2

+

1

2

lna＞0，
解得a＞

1

e

．所以a的取值范围为(

1

e

，+∞)．
（2）原问题即p＞q＞0时，mg（p）-pf（p）＞mg（q）-qf（q）恒成立．
令h(x)＝mg(x)?xf(x)＝

m

2

x2?xlnx，则h（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
所以h'（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≥

lnx+1

x

在（0，+∞）上恒成立．
令G(x)＝

lnx+1

x

，则G′(x)＝?

lnx

x2

，
所以当x∈（0，1）时，G′（x）＞0；x∈（1，+∞），G'（x）＜0．
所以G（x）的最大值为G（1）=1，所以m的取值范围为[1，+∞）．