Question

在负无穷到正无穷内,方程|x|^(1/4)+|x|^(1/2)-cosx=0有多少个实验

有多少个实根(题目更改下)?答案是有且只有两个,我不知道怎么推出来的,请详细说明

Answer 1

f(x)=|x|^(1/4)+|x|^(1/2)是偶函数，在[0,+∞)单调上升，
g(x)=cosx是偶函数，在[0,1]单调下降，
在[0,1]，f(x)-g(x)单调上升，
且f(0)-g(0)=0-1<0,f(1)-g(1)=2-cos1>0,
所以，在[0,1]，f(x)-g(x)=0恰有一实根，
在(1,+∞)，f(x)>2>g(x),f(x)-g(x)=0没有实根，
又因为f(x)-g(x)是偶函数，所以，在负无穷到正无穷内,方程|x|^(1/4)+|x|^(1/2)-cosx=0恰有两个实根。