定积分化简，不难
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约定:∫[a,b] 表示求区间[a,b]上的定积分
解: 原式=∫[0,π]x(sinx)^3dx (设x=t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](t+π/2)(sin(t+π/2))^3d(t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](t+π/2)(cost)^3dt
=∫[-π/2,π/2]t(cost)^3dt+(π/2)∫[-π/2,π/2](cost)^3dt 注 u=t(cost)^3是奇函数，v=(cost)^3是偶函数
=0+π∫[0,π/2](1-(sint)^2)dsint
=π(sint-(1/3)(sint)^3))|[0,π/2]
=π(1-(1/3)(1^3))
=2π/3
希望对你有点帮助！
解: 原式=∫[0,π]x(sinx)^3dx (设x=t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](t+π/2)(sin(t+π/2))^3d(t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](t+π/2)(cost)^3dt
=∫[-π/2,π/2]t(cost)^3dt+(π/2)∫[-π/2,π/2](cost)^3dt 注 u=t(cost)^3是奇函数，v=(cost)^3是偶函数
=0+π∫[0,π/2](1-(sint)^2)dsint
=π(sint-(1/3)(sint)^3))|[0,π/2]
=π(1-(1/3)(1^3))
=2π/3
希望对你有点帮助！
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追问
答案很详细，但这种方法我一般想不到啊，请问你是怎么会的，是不是因为做过类似的
追答
这是一种处理定积分问题常用的方法之一，见识几次就会了。
祝你好运！
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