Question

关于定积分的几个问题

1,如图定积分里求定积分应该怎么求啊?搞不懂的就是打问号的那一步。还有接下来那道题也是。

2.定积分的求导应该怎么求。。。比如这道题的第一问应该是要求导的吧。能利用这道题给我讲一下么？

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Answer 1

第一个题，在解决的方法上，并不是基于把积分积出来。
由于两个积分都是变限的积分，方法是用求导解决。
也就是，对整个极限，用洛必达法则求。
其中对分子的导数，用积分上限的函数的导数公式求。
该公式是【若F(u)=∫（a到g(u)） f(t)dt，则F'(u)=f(g(u))*g ' (u)】
再注意到，把∫（siny到0） tdt视为一个函数h(y)来对待。
于是得到打问号的那一步。之后的一步也是同理。

第二个题，为了便于理解，不妨先把x视为定值a。
和上题不同，本题是，按照二重积分，进行改变积分的次序，就可证出了。
需要注意，定积分与积分变量的字母记法无关。

第三个题，首先要做的是，去掉绝对值符号。
方法是，把，从-a到a的积分，拆成，从-a到x的 + 从x到a的。

追问

谢谢！但是能具体讲一下第二题的做法么？改变积分的次序....？

追答

根据左边，在纵轴y轴上，标出区间[0，a]，横轴是t轴。
作出线t=0和t=y，得到积分区域D是由y轴、y=a、t=y围成的三角形区域。
换序，则是按照先积y、后积t做该积分。
则左边=∫（0到a） dt∫（t到a） f(t)dy=∫（0到a） f(t) * (a-t)dt
按照我们之前的约定，现在把a换回x，
再把字母t换成字母y，即得右边。