Question

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）（1）求出所有使数列{an+1+λan}成等比数列的

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）（1）求出所有使数列{an+1+λan}成等比数列的λ值，并说明理由．（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）因为数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
{a_n+1+λa_n}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ
依题意得（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）{a_n+1+λa_n}是等比数列，
{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
以上①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．