Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且an+1=2Sn+3，数列{bn}为等差数列，且 公差d＞0，b1+b2+b3=15（1）求数列

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且an+1=2Sn+3，数列{bn}为等差数列，且 公差d＞0，b1+b2+b3=15（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a13+b1，a23+b2，a33+b3成等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）对第（2）小题的Tn，当Tn+16≥λn对任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2S_n-1+3（n≥2）…（2分）
相减得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n，
∵当n=1时，a₂=2a₁+3=9，∴

a2

a1

=3，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=3?3^n-1=3ⁿ…（5分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，
∴b₂=5…（6分）
由题意，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，
∴(

a2

3

+b2)2＝(

a1

3

+b1)(

a3

3

+b3)，
设b₁=5-d，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）
故Tn＝3n+

n(n?1)

2

?2＝n2+2n …（10分）
（3）由题意，λ≤n+

16

n

+2，
∵n+

16

n

≥2

n? 16 n

=8，
∴λ的最大值为8+2=10．…（14分）