Question

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点为F1（1，0）、F2（-1，0），离心率为22，过点A（2，0）的

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点为F1（1，0）、F2（-1，0），离心率为22，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

Answer 1

（1）由已知条件知，c＝1，

c

a

＝

2

2

，解得a＝

2

，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），
联立

y＝k(x?2) x2 2 +y2＝1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²=2=0，①
由于直线l与椭圆C相交，
所以△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
解得直线l的斜率k的取值范围是?

2

2

＜k＜

2

2

；
②∠MF₁A和∠NF₁F₂总相等．
证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2＝

8k2

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